El enigma matemático en el distanciamiento social

Escondido en ese distanciamiento social hay un problema que tiene a los matemáticos de cabeza desde hace siglos

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“Ninguna explicación dan (sobre la tardanza)”, dijo Mariela España, quien fue una de las usuarias que había sido citada a las 8:00 de la mañana. Foto: Cortesía / Mariela España

Por Napoleón Cornejo

2021-04-12 5:36:00

Son tiempos extraños. Desde hace un año el mundo vive bajo la zozobra de una pandemia que nos mantuvo encerrados, aislados y, aún hoy, sin saludarnos de mano o de beso. Debido a que el COVID-19 es de transmisión aérea, una de las estrategias más efectivas es el distanciamiento social. La distancia con otras personas evita que un estornudo, una tos o la simple respiración nos ponga en contacto con las partículas virales.
Escondido en ese distanciamiento social hay un problema que tiene a los matemáticos de cabeza desde hace siglos. Una distancia constante alrededor de una persona, en todas direcciones, describe una esfera. Si tuviera que poner a varias personas dentro de una habitación con varios niveles, ¿cuál sería la forma óptima de posicionarlas para desperdiciar el menor espacio posible y aún mantener el distanciamiento social?
Eso, amigos, es el problema del empaquetamiento de esferas y tiene más de 400 años sin solución general.
La forma original de plantearlo es la siguiente: imagine que tiene una caja y unas esferas. Estas pueden ser naranjas o pelotas de golf. ¿Cómo debe acomodarlas para empacar la mayor cantidad posible?
Podrá pensar que puede poner cuatro esferas primero y luego otra sobre el centro encima, en forma piramidal, y así repetir el patrón. También podría formar un hexágono y luego en los espacios superiores y a sus lados colocar otras esferas. Diferentes combinaciones resultan en diferente fracción del espacio aprovechado en la caja. Resulta que en las tres dimensiones que vivimos, la primera es la forma óptima.
¿Cuál es el enigma entonces? Que a los matemáticos les encanta pensar en más dimensiones. En dos dimensiones hablamos de un cuadro y círculos. En tres dimensiones hablamos de un cubo y esferas. Más allá de tres dimensiones hablamos de hipercubos e hiperesferas que nuestro cerebro ya no puede visualizar. Nos queda sólo la matemática.
Las intuiciones que tenemos sobre las dos y tres dimensiones que percibimos, ¿pueden trasladarse a mayores dimensiones? No. Las cosas se vuelven sumamente extrañas.
Por ejemplo, suponga un cuadrado dibujado en un papel. Dibuje un círculo dentro del cuadrado que apenas toque cada uno de los lados. El área del círculo ocupa aproximadamente un 79% del espacio dentro del cuadrado. Ahora hagamos lo mismo en tres dimensiones: imagine un cubo y adentro una esfera que apenas toca cada uno de los lados. El espacio que ocupa la esfera es aproximadamente 52%. El patrón continúa; a más dimensiones, menor el espacio que ocupa. En 30 dimensiones la hiperesfera ocupa sólo 0.0000000001% del hipercubo, que sería equivalente al espacio que ocupa un grano de arroz en un estadio. ¿Sorprendente, no?
Otro aspecto contraintuitivo de estas esferas en altas dimensiones es como caben en el espacio. Imagine un cuadrado y divídalo en cuatro cuadrantes iguales. Dibuje un círculo que quepa justo en cada cuadrante. ¿Nota que queda un espacio en el centro entre los círculos? Pues dibuje un círculo ahí que apenas y toque los otros. Será un círculo más pequeño y muy adentro del cuadrado. Haga ahora lo mismo con un cubo, divídelo en 8 cubitos iguales y en cada uno una esfera. Luego en el espacio entre las 8 esferas, dibuje otra que apenas las toque. Sigue siendo una esfera más pequeña que las otras y bien metida dentro del cubo. Pero lo curioso sucede en 9 dimensiones, porque repitiendo este ejercicio, ahora la hiperesfera central toca los bordes de ese hipercubo. A 10 dimensiones o más la hiperesfera central se sale del hipercubo.
Este problema surgió en el siglo XVI al intentar empacar balas de cañón en un barco. En 1611 Johannes Kepler sugirió la forma óptima (la piramidal) para el empacamiento, pero fue matemáticamente demostrada correcta sólo hasta el siglo pasado. En 2016 la ucraniana Maryna Viazovska encontró la solución para 8 y 24 dimensiones. El resto de dimensiones aún son fuente de confusión para matemáticos alrededor del mundo. Así que cuando haga su distanciamiento social en la escuela, trabajo o en un avión, siéntase afortunado que al menos para las tres dimensiones en que existimos, el problema está resuelto.

Ingeniero Aeroespacial salvadoreño,radicado en Holanda.

cornejo@52ecuaciones.xyz