La ecuación de esta semana es la expresión de un número que, a pesar de no representar nada real y tangible, juega un papel imprescindible en las telecomunicaciones, la ingeniería eléctrica y la física subatómica. Les presento al número imaginario:
i=???-1
Concebir esta entidad requirió una revolución mental; una serie de cambios cognitivos que tomaron varios milenios. Esta es la historia…
Todo empieza hace 43,000 años en las montañas de Lebombo, cerca de Suazilandia, en África. Un Homo Sapiens tiene de repente la necesidad de anotar algo y para ello toma el hueso de un babuino y le hace un patrón de marcas. Ha hecho algo que ninguno de sus antecesores había hecho antes: contar. Ya sea para llevar la cuenta de frutas o de los meses, el homo sapiens había inventado una herramienta mental que hoy llamamos los números naturales (N). Es decir, el 1,2,3,4???
Por casi 40,000 años los números solo nos sirvieron para contar lo tangible. Sin embargo, en el Siglo Tercero a.C. los chinos se encontraron con un problema: ¿como anotar los impuestos no pagados por los súbditos de la dinastía Han? Uno de sus sabios, Liu Hui, decidió entonces extender los números con una nueva clase: los negativos. Describió en el libro “Los Nueve Capítulos del Arte Matemático” cómo tratarlos y operar con ellos. Hui había extendido los números naturales con otras entidades. Este nuevo gran conjunto son los enteros (Z), es decir ???-4,-3,-2,-1,0,1,2,3???
Cientos de años antes, los egipcios tuvieron la necesidad de representar las partes de una unidad para dividir cosechas. La Biblia en Génesis menciona lo siguiente: “Al tiempo de la cosecha daréis la quinta parte a Faraón, y cuatro partes serán vuestras”. Estas expresiones, 1/5 y 4/5, aunque no lo sabían, eran fracciones. Los griegos, hindúes y árabes desarrollaron más su estudio y describieron sus propiedades. Como consecuencia, extendimos nuevamente los números para incluir las fracciones. A este nuevo gran conjunto le llamamos los racionales (Q).
Pitágoras agitó más las cosas. Jugando con su teorema de los triángulos rectos, imaginó un triángulo con ambos lados de longitud 1. Al intentar calcular su hipotenusa, se paralizó. Según su teorema, la longitud debe ser la raíz cuadrada de 2. ¿Como representar este número? Debía ser una fracción con valor entre el 1 y el 2, pero aunque intentó e intentó, no la pudo encontrar. Se había dado cuenta que había una nueva clase números que no se pueden representar con fracciones de números enteros. A estos les llamamos irracionales. Entre ellos están la raíz de 2, Pi (??) o la raíz de 5. Había que extender las cosas otra vez y a este nuevo gran conjunto le llamamos hoy los reales (R).
Por siglos pensamos que ya todo había concluido. No fue hasta el Siglo 16, cuando unos matemáticos italianos, Niccolo Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano, en medio de un disputa intelectual se encontraron con una situación que no tenía sentido. Un par de ecuaciones daban como resultado la raíz cuadrada de números negativos. Al principio la descartaron como un sinsentido. Más adelante René Descartes les daría un nombre: los imaginarios. ¿Adónde está ???-1? ¿Entre el 1 y el 2? ¿O entre el -2 y el -1? ¡No van en ningún lado de la línea numérica! Es el primer número que no podemos ordenar entre los anteriores y sin embargo existe. Estos números dan la extensión final de las álgebras en un superconjunto llamado los complejos (C), que incluye a todos los anteriores.
Dejo esta interrogante para usted, amigo lector: ¿existirán más clases de números que aún no conocemos?
(La edición impresa puede no mostrar las fórmulas adecuadamente. Para ver la notación correcta, visite: http://52ecuaciones.xyz).
* Ingeniero Aeroespacial salvadoreño,
radicado en Holanda.
cornejo@52ecuaciones.xyz